Gyimóthy Gábor: Idomok – avagy formatervezős emlékeimből (4., befejező rész

Szeretném még bemutatni két egészen egyszerű és két erősen elvont változatát a két gyűrű típusnak. Íme az első ABS-ből, amely a sorozatnak sokadik darabja volt. Akkor csináltam, amikor úgy éreztem, hogy a bonyolultabb darabok után kellene egy egyszerű, szerény kis formát is csinálni. A mérete – mint az összes többinek – a gyűrűk 120 milliméteres külső átmérőjéből adódik.

Aztán arról is szeretnék szólni, amiről eddig elfelejtettem. Nem is írni felejtettem el róla, hanem elfelejtettem, hogy ez az idomok „gyártástechnikájának” lényeges része volt. Tegnap jutott eszembe, amikor a harmadik részt írtam. Hogy’ lehetett ezt elfelejteni, hiszen körülbelül öt évvel ezelőtt fejeztem be az utolsó idomot, amelynek elkészítésénél ezt az elfelejtett „lépést” alkalmaznom kellett?

Mindegy, fő hogy eszembe jutott. Az idomok milliméter-papíron elkövetett tervezése után, nem vágtam bele közvetlenül a PVC-rúdba, hanem először megcsináltam a modelljét habműanyagból. De mielőtt rátérnék a részletekre, el kell mondanom valamit, ami szerintem érdekes. (Az alanti képen, PVC-ből, egy rém egyszerű változata a két gyűrű típusnak.)

Amikor Angliában voltam (’73 végén, ’74 elején), már gondoltam arra, hogy a megtervezett idomok megvalósítása nem lesz egyszerű dolog. Ismervén a PVC makrancos szívósságát, tudtam, hogy nem lehet majd egyszerűen belevágni, kell valami, amiből előzetes modelleket lehet csinálni. Az első ötletem olyasmihez kapcsolódott, ami sajnos nehezen elérhető. Az angliai kisvárosban mászkálva láttam egy zöldségüzlet kirakatában óriás-krumplikat. Már az is furcsa volt, hogy egy zöldségüzletnek kirakata van, de a burgonyák mérete volt a legfurcsább. Akkorák voltak, mint a nagy főzeléktökök, mintha fölnagyított Gülbaba krumplik lettek volna. Hosszúságuk legalább 40 cm, átmérőjük (mintha már tudták volna, hogy valamikor 12 cm vastag rudakból fogok dolgozni), 12-14 cm lehetett, vagy talán kicsit több is.

Se azelőtt, se azután nem láttam azokhoz hasonló méretű krumplit. Nem tudom, hogy az egykori, angol birodalom melyik részén terem ilyen. Vagy talán valamelyik őrült, angol növénynemesítő termelt ki ilyen csudákat? Ki az, aki el tud kezdeni valamit 4-5 kilós krumplikkal? De mielőtt folytatnám, a fönti képen látható PVC-darab még hasonlít a két gyűrűs kiindulásra. Ha nem számítom a kör alakú áttörés két élét, az idomnak egyetlen éle van. Visszatérve a csoda-burgonyákra, azokból gyönyörűen és könnyen lehetett volna kifaragni az idomok (a modellek) modelljeit. De csak elméletileg. Valószínűleg sosem faragtam volna belőlük semmi olyat, amit utána el kellett volna dobnom. Nagyon ellenzem, ha élelmiszerből valami mást csinálunk, mint ételt!!

Angliából visszatérve svájci munkahelyemre, hasonló problémáim voltak a modell készítésnél. Elképzeltem, hogy milyen jó lenne megcsinálni a modellt valamilyen képlékeny anyagból, mint például agyagból, amit aztán egy varázspálca érintésével keményítenénk meg, majd reszelve, csiszolva fejeznénk be. (A fönti képen, a talapzattal együtt, négy darabból álló idom látható. A fekete: PVC, a szürke: polisztirol.) Írtam is néhány nagy, műanyagokat gyártó vállalatnak (Bayer, BASF), kérdezvén, hogy nincs-e ilyesmijük? Mint ahogy ma a fogorvos a tömést egy kis sugárzóval (valószínűleg ibolyán túli fénnyel) percek alatt keményíti meg (nem tudom, volt-e már ilyen a 70-es évek közepén), miért ne lehetne egy képlékeny anyagból készült modellt pillanatok alatt keményre változtatni, például úgy, hogy bele fújunk egy ultrahang sípba? Ezt kérdeztem a műanyag gyáraktól. Akkor még nem lehetett, ma talán már lehet (és akkor talán éppen az én sugallatomnak köszönhetően…).

Fönt: egy lépéssel túl a két gyűrűn.

Így aztán ráfanyalodtam a habműanyagra. Először drága, poli-akrilamíd habbal próbálkoztam. Aztán rábukkantam a potom olcsó hab-poliuretánra, amit óriási tömbökben gyártanak épületek hő- és hangszigetelésére. Ezt a sárgásbarna anyagot különböző sűrűségben, azaz különböző térfogatsúllyal gyártják. Én a 70-est találtam (egy köbméter 70 kg belőle) a legmegfelelőbbnek. Kemény, akár kézzel is szétmorzsolható anyag (ahol használják, ott nincs kitéve mechanikai zaklatásnak). Hihetetlen előnye, hogy egy idom, amely PVC-ből négy nap kőkemény munka lenne, az két-három óra alatt megcsinálható belőle gyerekjáték könnyedséggel. Másik előnye, hogy nem csak maga a forma lesz megszemlélhető, hanem az egyes lépéseket is úgy végezheti el rajta az ember, ahogy azt a PVC-darabon akarja csinálni, s ez nem más, mint „főpróba”. Hátránya, hogy rettenetesen poros ügy a vele való bajlódás. A munkaidőben több a porszívózás, mint a faragás…

A fönti képen, a világ legrövidebb lánca látható. A világos színű egy darab ABS-ből van, a fekete két PVC félgyűrű. Külső átmérőik pontosan 120 mm, amiből következik, hogy a tóruszok metszeti átmérője 40 mm. Ez is gyönyörű lenne két különböző gránitból, bár a félgyűrűk illeszkedését valószínűleg nem lehetne megcsinálni olyan láthatatlanul, mint ahogy az nekem sikerült a PVC-daraboknál.

Ezzel be is fejeztem volna az idomok történetét, ha nem szeretném bemutatni, olyanoknak, akiknek kedvük lenne ilyesmit csinálni, hogy milyen egyszerű például egy kockából gömböt reszelni, és főleg hogy ez milyen kevés számolással jár. Tehát a kedves Olvasótól, akit ez nem érdekel, nem veszem rossz néven, ha itt fölmenti magát a további olvasástól.

Ínyenceknek

A varázsszó a geometria. Ez még messze nem ábrázoló geometria, csupán olyan matematika, amelyben – geometriai elgondolások folytán – nagyon keveset kell számolni. A föladat: reszeljünk gömböt egy 120 mm élhosszúságú kockából. Az első lépés, levágni a kocka nyolc sarkát, természetesen úgy, hogy a metszések síkja, egyrészt merőleges legyen a kocka térátlójára, másrészt az így keletkező, egyenlő oldalú háromszögek közepe a születendő gömb pontjai legyenek. Egyszerűbben kifejezve: a nyolc keletkezett háromszög a gömb érintő-síkjaivá váljanak. Ezek a kis, levágott sarkok háromszög alapú gúlák lesznek, de kérdés, hogy mekkora lesz a magasságuk? A magasságot megkapjuk, ha a kocka térátlójából kivonjuk a gömb átmérőjét (ami természetesen ugyancsak 120 mm lesz, ha a kockában elférő, legnagyobb gömbre vadászunk), és azt elosztjuk kettővel. De eddig még eszünkbe sem jutott számolni. Mekkora a kocka térátlója? Egy olyan derékszögű háromszög átfogója, amelynek egyik befogója a kocka élhossza, a másik a kocka oldallap-átlója. Mekkora az oldallap átló? Természetesen – Pitagórasz bácsi szerint – a kocka élhossza szorozva 2 négyzetgyökével. Ezt a számot nem árt fejből tudni (1,41), de itt nem lesz rá szükségünk. Egyébként, ha valaki bohócot akar csinálni magából (vagy fél az ógörögök bosszújától), nevezheti az öreget Püthagorsnak… Ha megtudtuk a kis, levágandó csücsök-gúlák magasságát, mit kezdünk vele? Képzeljük el, hogy a kockának úgy vágjuk le az egyik sarkát, hogy az már a lehető legnagyobb, levágható sarok legyen. Abból is olyan gúla lesz, amelynek egyenlő oldalú háromszög az alaplapja, de annak a három oldala a kocka három oldallap-átlója lesz. Mekkora ennek a gúlának a magassága? Nem tudjuk, de könnyen megtudhatjuk.

Számítsuk ki ennek a gúlának a köbtartalmát. Ez akkor is gúla, ha nem az egyenlő oldalú háromszög az alapja, hanem a három, azonos, derékszögű háromszög alakú oldallapjának az egyike (csak akkor egy kicsit furcsa: csálé-gúla). Így viszont őrült könnyű számolni. A gúla térfogata: alaplap területe szorozva a magassággal és elosztva hárommal. A csálé-gúla alapja a kocka oldallapjának a fele, a magassága pedig a kocka élhossza. Nevezzük a kocka élhosszát á-nak. Akkor az alap: á a négyzeten osztva kettővel. A térfogat pedig ez megszorozva á-val és elosztva hárommal. A végeredmény: á a köbön (harmadik hatványon) osztva hattal. Tehát ez a nagy, levágott sarok a kocka térfogatának a hatodrésze. Még három ilyen sarkot lehetne levágni a kockából, és ami maradna belőle, az egy olyan tetraéder lenne, amelynek az élhossza a kocka oldallap átlója. Négyszer egyhatod, az kétharmad. Tehát a kocka levágott négy sarkából kiderült, hogy a kockába rajzolható, legnagyobb tetraéder térfogata a kocka térfogatának a harmadrésze. Igen ám, de a tetraéder oldallapja és a levágott sarok nagy háromszöge azonos háromszögek (egybevágó háromszögek, ha úgy jobban tetszik). Tudjuk, hogy a sarok térfogata a kocka egyhatoda, a tetraéder pedig a kocka egyharmada. Két gúláról van szó, amelyeknek az (egyenlő oldalú háromszög) alapjai egyenlők, de az egyik térfogata a másiknak a kétszerese. Világos, hogy akkor a magassága is a kétszerese lesz. Namármost, a sarokgúla magassága (ha az egyenlő oldalú háromszöget vesszük most megint alapul) és a tetraéder magassága együtt nem más, mint a kocka térátlója. Vagyis a sarokgúla magassága a térátló egyharmada lesz. Eddig még elő se vettük a ceruzánkat, mert számolni nem kellett, csak okoskodtunk, igaz, hogy a geometriára támaszkodva. Most lesz szükségünk a kocka térátlójára. Hogy is volt? Ismétlés: A térátló olyan derékszögű háromszög átfogója, amelynek egyik befogója a kocka élhossza (á), a másik a kocka oldallap átlója, ami az élhossz szorozva kettő négyzetgyökével (gyök-kettőször á). Most jön megint Pitagórasz bácsi, és azt mondja – örömében, hogy nem ü-vel írtuk a nevét –, hogy a két befogó négyzetének az összege azonos az átfogó négyzetével. Nosza, az egyik befogó négyzete: á a négyzeten, a másik befogó négyzete 2-szer á a négyzeten. A kettő együtt: 3á a négyzeten. Ebből kell gyököt vonnunk, ami egyenlő lesz á-szor 3 négyzetgyökével. Három négyzetgyökét szerencsére fejből tudom (nem árt megjegyezni: 1,732), ezt kell megszorozni 120-szal, hogy megkapjuk a kockánk térátlóját. Ez az első számolás, amit (ha nem vagyunk fejszámolók) papíron kell elvégeznünk! ebből levonjuk a gömb átmérőjét, azaz 120-at, amihez nem kell papír, és elfelezzük (ehhez sem kell papír) és máris megkaptuk a kis, levágandó sarkok magasságát (ha a sarkokat gúlának nézzük). A nagy, levágott sarok (amely a kocka hatodrésze) magassága a térátló harmadrésze, tehát azt el kell osztanunk hárommal, hogy megkapjuk. (Ez a második számolás!) De, ha nem szeretünk osztani, azt is megtehetjük, hogy 40-nel szorozzuk (ami 120 harmadrésze) a gyökhármat. Most tehát ismerjük a kis (levágandó sarok) gúla magasságát és a nagy (hatod kocka) sarok magasságát. A nagy magasságot elosztjuk a kicsivel (Ez a harmadik számolás!) Ahányszor megvan benne, annyival osztjuk el a kocka élhosszát, vagyis 120-t, és megkapjuk a levágandó sarkok élhosszát (Ez volt a negyedik számolás!) Ekkor már meg tudjuk rajzolni pontosan a háromszögeket, amelyek a kocka nyolc sarkán azokat a síkokat határolják körül, amelyek a gömb érintő-síkjai lesznek. Megtakaríthatjuk az első számolást, ha a kocka térátlóját egyszerűen megmérjük, de ahhoz, hogy tudjuk, hogy tulajdonképpen mit kell tennünk, egyáltalán nem ártott végigkövetni a fönti, geometriai eszmefuttatást.

Ezután jöhet a sarkok lefűrészelése és az érintő-síkok pontosra reszelése. Ajánlatos ezt a műveletet egyenként végezni, azaz egy sarok levágása után azt pontosra reszelni, mert így a térátló-maradék előírt hosszát pontos mérésekkel tudjuk ellenőrizni. A levagdosás után olyan testet tartunk a kezünkben, amelynek 24 sarkocskája van. Ezeknek a sarkocskáknak a lereszelése után kész a gömb. A munka haladását – jó irányba haladását – sablonokkal kell ellenőriznünk. Ilyeneket pillanatok alatt rajzolhatunk, például 1 mm vastag polisztirol lemezekre, amit aztán további pillanatok alatt vághatunk ki lombfűrésszel. Jó, ha több sablont készítünk: negyedkört, harmadkört, félkört és akár egész körgyűrűt is, amelyen a kész gömbnek át kell bújnia, bármilyen irányban tartva.

A fönti képen „húsos” hajócsavar (vízcsavar) látható, amely azonban nem lenne alkalmas a hajó meghajtására, mert a lapátok formája arra a célra nem megfelelő. Az anyaga szürke polisztirol. Fekete PVC rúdra támaszkodik amelyből csak egy kis csillogás látszik.

Utóirat

A hosszú szövegből többször kitűnhetett, hogy ezeket az idomokat modelleknek tekintem, modelleknek szántam. Tehát nem olyan tárgyak, amelyeket valaki azért vesz meg, hogy aztán az éjjeliszekrényére tegye dísznek. Ezek a darabok akkor válnának igazán élvezhetővé, ha fényesre csiszolt gránitból lennének, nagy méretben. Azoknak a köveknek a műélvezetéhez én csak egy kis geometriai játszadozással járultam hozzá. A baj az, hogy ezek a kövek nem léteznek, mert nincs pénzem a megcsináltatásukra. Csak ha csoda történne, juthatnék annyi pénzhez, például nyernék a LOTTÓ-n nagyon sokat (már elkezdtem nyerni, három hete nyertem 17 Frankot…). Csodákban lehet hinni – sőt kell is! – de számítani rájuk nem lehet. És valljuk be, itt nem aprópénzről lenne szó. Az első részben említettem, hogy az első darabomat szerettem volna fekete, svéd gránitból megcsináltatni, mégpedig úgy, hogy a kiindulási kőkocka negyed köbméter lett volna. Kicsit kérdezősködtem kőfaragóknál itt-ott (Magyarországon is), aminek következtében az elkészítését ma (valamilyen talapzattal együtt) 50 000 svájci Frankra becsülöm. Ez még nem kifizethetetlen összeg, de ha például valamelyik idomot a „két gyűrűs” típusból kellene megcsináltatni, mondjuk két méteres nagyságban, az aligha jönne ki két köbméternél kisebb gránitdarabból és annak az ára az ötvenezer sokszorosa lenne. És ezeknek a köveknek a súlya sem lekicsinylendő, tehát az ide-oda szállítgatásuk sem lenne olcsó.

Mit lehetne tenni? Szerintem egy ügyes üzletember el tudná adni egyiket-másikat a modellek segítségével. Többek között ezért olyan a modellek minősége, mint amilyen. Fölkereshetne a modellel, mondjuk, gazdag, arab bankokat, és ha valamelyik érdeklődik, elmehetne a modellel kőfaragókhoz, hogy megegyezzen az elkészítés árában. Aztán hozzá csapná az összeghez azt, amit ő akar keresni rajta és mehetne újra a bankhoz, hogy kell-e nekik annyiért? Nekem nem kellene keresnem az üzleten, bár örülnék neki, ha nekem is lepottyanna belőle néhány fillér. A lényeg az lenne, hogy látható legyen a kész tárgy, lehetőleg sokak számára. Egyetlen kikötésem lenne: én akarom meghatározni, hogy melyik idom, melyik gránitfajtából készüljön.

Tehát gazdag vállalatok, bankok, biztosító társaságok lehetnének olyanok, amelyek ki tudnák fizetni az előállítási árat (és egy kicsit többet). Esetleg nem csak úgy, hogy a darabok saját bejáratuk előtt ácsorognának, hanem úgy is, hogy „jótékonyságból” (önreklámozásból) ajándékoznák valamilyen városnak, hogy állíttassa valamelyik terére.

Nem hiszem, hogy nagyon gazdag magán személyekre lehetne számítani, mint vevőkre. Az ilyen emberek (tisztelet a kivételnek), ha ilyesmit vesznek, akkor nem azért teszik, mert az alkotás tetszik nekik, hanem mert az alkotójának hírnevében bízva, arra számítanak, hogy a mű értéke nem csökkenni fog, hanem növekedni. Természetes, hogy ha az alkotójának nincs hírneve – mint ahogy nekem nincs – eszükbe nem jutna megvenni tőle valamit. Viszont híres alkotótól szemrebbenés nélkül vennének meg akár egy meztelen királyt is – még akkor is, ha ők látnák a király meztelenségét – annak biztos tudatában, hogy nem őket fogják kiröhögni, hanem azokat, akik meg merészelik mondani, hogy a király, akit megvettek, meztelen.

Ilyen az élet! – Mondaná a francia, ha tudna magyarul…

Egy kis ráadás

Az ábrázoló geometriával kapcsolatban elmondok egy mulatságos történetet. Amikor 1959 őszén elkezdtem a zürichi ETH-ra járni (Eidgenössische Technische Hoschule – megfelel a magyar Műegyetemnek), volt négy indiai évfolyamtársam. Náluk, Indiában nagy súlyt fektetnek a matematikára, de ábrázoló geometriát nem tanulnak. Ezért azzal problémájuk volt. Nekem is az volt vele, mert zaklatott sorsú iskolázgatásom folyamán éppen csak hogy beleszagoltam. Ha nekem valami problémám volt, megkérdeztem Görbei Janótól, aki mögött valódi és tisztességes gimnázium volt, ráadásul tisztességesen megtanulta az ábrázolót. (Szekszárdi fiú volt. Sajnos nagyon fiatalon halt meg vérrákban.) Amit megtanultam tőle, azt viszont jól el tudtam magyarázni. Így aztán az indiaiak rám szoktak és engem nyaggattak a megoldásokért. A társalgás nem volt zökkenőmentes mert nem tudtak eléggé németül, én meg nem tudtam eléggé angolul. Tehát nem vehettem rossz néven, ha egy magyarázatom után rázták a fejüket. Ez nem volt teljes fejrázás, csak egy lassú, egyszeri fejmozgatás jobbra, balra. Elmagyaráztam másodszor is kicsit másképp, majd harmadszor is, aztán azt mondtam, hogy sajnálom, de jobban már nem tudom elmagyarázni. Egyszer csak elterjedt a híre a mi emeletünkön, hogy milyen „szenzációs" magyarázó vagyok, és fű-fa jött hozzám magyarázatért. Hetekkel később jöttem rá, hogy azzal a „fejrázással" azt akarták mondani, hogy megértették... Ami nálunk a fejbólintás, az náluk ez a – számunkra félreérthetetlen – fejmozdulat, csakhogy félreértjük. Persze hogy nagyon megértették a példákat, hiszen három különböző módon is elmagyaráztam a megoldásokat...

Gyimóthy Gábor,

Zollikerberg, 2021 V. 2.»

Kapcsolódó cikkeink: